STAND JUSSIEU


Manipulations

On ne peut construire que 9 solides réguliers.



La démonstration du fait qu'il n'en existe que 9 est très compliquée. Pour les polyèdres convexes (i.e pour lesquels toutes ses diagonales sont contenues à l'intérieur du polyèdre) il existe une démonstration qui repose sur la caractéristique d'Euler des polyèdres, vous pouvez la trouver à l'adresse suivante:

http://www.eleves.ens.fr/home/pilaud/enseignement/agreg/polyedres/polyedres.pdf .




Questions

Avant toute chose il convient de rappeler les définitions.

Soient n points quelconques du plan M1, ..., Mn, tous distincts. On appelle polygone à n côtés la figure formée par les n segments (appelés côtés) : MiMi+1, pour i allant de 1 à n-1, et MnM1.
 Une diagonale est un segment reliant deux sommets quelconques, et qui n'est pas un côté.
Le problème revient donc à dénombrer les segments MiMj avec i≠j, i≠j+1, et i≠j-1. Soit Mi un sommet quelconque. On peut le relier à n-3 autres sommets (puisqu'il faut enlever Mi-1, Mi et Mi+1).
On obtient n-3 segments.
Comme on a choisi un sommet quelconque, il faut faire le même raisonnement pour chaque sommet.
Il y a n sommets possibles, et pour chaque sommet n-3 segments, on peut donc faire une liste de n(n-3) segments.
Il convient ensuite de vérifier que dans notre liste tous les segments n'apparaissent qu'une seule fois.
Or on remarque que le segment MiMj a été compté deux fois, une fois lorsqu'on a dénombré les diagonales partant de Mi, et une fois lorsqu'on a dénombré les diagonales partant de Mi.
Il faut donc diviser par 2 le nombre trouvé précédemment, et on trouve n(n-3)/2 diagonales.



Pour un quadrilatère on a n=4, donc 4(4-3)/2=2 diagonales.



Pour un pentagone on a n=5, donc 5(5-3)/2=5 diagonales.





Pour un octogone on a n=8, donc 8(8-3)/2=20 diagonales.

Pour un décagone on a n=10, donc 10(10-3)/2=35 diagonales.